Πόσο καλά γνωρίζετε το Μαθηματικό Άπειρο;

Πόσο καλά γνωρίζετε το μαθηματικό άπειρο;   ( Κουίζ )                                Συντάκτης Γιάννης Π. Πλατάρος

Η σωστή απάντηση, είναι μοναδική κάθε φορά. Συνεπώς, αν είναι και κάποια άλλη σωστή , θα πρέπει να εκλαμβάνεται κάθε φορά -συμβατικά- η πιο σωστή.

 

1. Διαιρώ δύο τυχαίους ακεραίους. Ποία η πιθανότητα να είναι τερματιζόμενη η διαίρεση;
   1.   Θετική κοντά στο 0 , αλλά δεν προσδιορίζεται ακριβώς.
   2.   0
   3.   1/2
   4.   Τίποτε από τα παραπάνω
   5.   1/10
2. Κάθε ρητός αριθμός έχει μονοσήμαντη δεκαδική αναπαράσταση.
   1.   Μπορεί να έχει και τρεις διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
   2.   Μπορεί να έχει οσεσδήποτε δεκαδικές αναπαραστάσεις!
   3.   Σωστό!
   4.   Μπορεί να έχει και δύο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
   5.   Μπορεί να έχει 10 το πολύ διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις!
3. Από τους φυσικούς εκλέγω τυχαία έναν. Η πιθανότητα να είναι τετράγωνος αριθμός είναι :
   1.   Θετική
   2.   Δεν υπολογίζεται.
   3.   0 , διότι δύο διαδοχικά τετράγωνα, μπορεί να απέχουν οσοδήποτε μεγάλη απόσταση.
      (ν+1)^2-ν^2= 2ν+1
   4.   Δεν ορίζεται.
4. Ένα από τα παράδοξα το Ζήνωνος, λέει, ότι όταν ένα βέλος κινείται προς τον στόχο του, θέλει ένα χρονικό διάστημα Τ1 για να διανύσει την διαδρομή μέχρι το μέσον της , ακόμα Τ2 μέχρι το μέσον του υπολοίπου της διαδρομής, Τ3 μέχρι το μέσον του υπολοίπου, του υπολοίπου της διαδρομής κ.ο.κ. Αυτή η διαδικασία δεν τερματίζεται άρα το βέλος δεν φθάνει ποτέ στον στόχο του! Ο Ζήνωνας:
   1.   Ήταν σωστός , διότι αν προσθέσω άπειρα χρονικά διαστήματα (όχι στιγμές!) θα πάρω άπειρο. Το ότι τα μαθηματικά δεν έχουν κατορθώσει να λύσουν τις εσωτερικές αντιφάσεις τους, αυτό δεν αφορά την κοινωνία, αλλά τα μαθηματικά και τους μαθηματικούς! Ο Ζήνωνας είχε δίκιο στην συλλογιστική του και φυσικά ήξερε ότι το βέλος φθάνει στον στόχο του!
   2.   Πρόκειται για άλυτο πρόβλημα των μαθηματικών.
   3.   Έκανε λάθος, διότι όλοι γνωρίζουμε, ότι το βέλος φθάνει στον στόχο του!
   4.   Ο Ζήνωνας, ουσιαστικά υπεδείκνυε, ότι ένα απειρο-άθροισμα θετικών μπορεί να είναι ενίοτε και πεπερασμένο.
   5.   Ο Ζήνωνας έκανε απειροστικό λογισμό 20 αιώνες πριν ανακαλυφθεί!
5. Οι μαθηματικοί έχουν ανακαλύψει μια συνάρτηση η οποία ορίζεται σε ένα κλειστό διάστημα, είναι παντού συνεχής, αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Το προηγούμενο είναι:
   1.   Ψέμα ! μια συνεχής συνάρτηση, θα περιέχει έστω ένα απειροελάχιστο ευθύγραμμο τμήμα ή καμπύλη, η οποία να επιδέχεται εφαπτομένη, άρα δεν είναι δυνατόν να ισχύει το «πουθενά παραγωγίσιμη!»
   2.   Αυτό είχε «ανακαλυφθεί» γύρω στο 1900 ,αλλά ο Πουανκαρέ υπέδειξε ένα σοβαρό λάθος στην απόδειξη!
   3.   Όλοι οι μαθητές στην Γ΄ Λυκείου, μαθαίνουν ότι όλες οι συνεχείς συναρτήσεις είναι και παραγωγίσιμες!
      Άρα δεν τίθεται θέμα ύπαρξης!
   4.   Σωστό!
6. Ο μεγαλύτερος αριθμός πριν το 2 είναι:
   1.   Είναι άρρητος και συνεπώς δεν μπορεί να εκφρασθεί.
   2.   1,9
   3.   1,99
   4.   Υπάρχει, αλλά δεν μπορεί να παρασταθεί με το δεκαδικό σύστημα.
   5.   1,999999.....(ατέλειωτα εννιάρια)
   6.   Δεν υπάρχει.
   7.   Υπάρχει, αλλά δεν προσδιορίζεται.
7. Μια ευθεία είναι σημειωμένη πάνω σε ένα επίπεδο. Γράφω και μια άλλη τυχαία ευθεία στο επίπεδο. Η πιθανότητα να την τμήσω, είναι:
   1.   Τείνει στο 1
   2.   Δεν υπολογίζεται.
   3.   1
   4.   0,999
8. Έχω το σύνολο των Φυσικών N  και επιλέγω έναν αριθμό του τυχαία. Η πιθανότητα να είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι :
   1.   Δεν έχει νόημα.
   2.   0
   3.   1/4
   4.   1/5
   5.   Δεν μπορούμε να την υπολογίσουμε ακριβώς.
9. Από τους ρητούς αριθμούς:
   1.   Αν εξαιρέσουμε όσους έχουν περίοδο το 9  ή το 0 , τότε όλοι οι υπόλοιποι είναι δεκαδικοί τερματιζόμενοι.
   2.   Κανείς δεν είναι δεκαδικός περιοδικός.
   3.   Όλοι μπορούν να είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
   4.   Οι πιο λίγοι είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
   5.   Οι πιο πολλοί είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
10. Στο στάδιο , ένα από τα παράδοξα του Ζήνωνος, για να διανύσω ένα στάδιο , πρέπει πρώτα να διανύσω το μισό του. Για να διανύσω όμως το μισό του, πρέπει πρώτα να διανύσω το μισό του μισού του, για να διανύσω το μισό του μισού του, πρέπει  πρώτα να διανύσω το μισό του μισού του μισού του κ.ο.κ. Τελικώς:
    1.   Το άπειρο, είναι μια αντιφατική έννοια και ο Ζήνων, υπεδείκνυε μια τέτοια πτυχή της!
    2.   Ο Ζήνων , έθετε ένα άλυτο πρόβλημα για τον νου του ανθρώπου .
    3.   Η τμήση ενός τμήματος σε άπειρα τμήματα, δεν σημαίνει ότι και ο συνολικός χρόνος διάνυσής τους είναι άπειρος!
    4.   Ο Ζήνων ήτο σοφιστής, και όπως σημαίνει και σήμερα ο όρος «σοφιστής» έλεγε εξυπνακισμούς-δοκησισοφίες  , χωρίς όμως να έχουν αυτά που λέει σχέση με την έννοια της σοφίας
       Ο Ζήνων ως σοφιστής έλεγε σοφιστείες!
    5.   Ο Ζήνων, ανεδείκνυε τις «τρύπες» που είχαν τα μαθηματικά της εποχής του , οι οποίες ακόμα και σήμερα δεν έχουν πλήρως καλυφθεί!
11. Ο ρητός 1/3, ως δεκαδικός γράφεται 0,33333333333333......... (δηλαδή δεκαδικός περιοδικός) Αυτός ο αριθμός σε άλλο σύστημα αρίθμησης:
    1.   Σε κάθε σύστημα αρίθμησης θα είναι περιοδικός (το 0 δεν θεωρείται περίοδος)
    2.   Σε κάποια συστήματα μπορεί να είναι περιοδικός και σε άλλα τερματιζόμενος!
    3.   Σε ένα άλλο σύστημα αρίθμησης, μπορεί να είναι και άρρητος.
12. Αν σχηματίσω και πάλι, ένα απέραντο άθροισμα θετικών αριθμών, όπου αυτή την φορά ο επόμενος θα είναι πιο μικρός από το μισό του προηγουμένου του, τότε αυτό το άθροισμα θα είναι:
    1.   Θετικό και πεπερασμένο
    2.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε
    3.   Θετικό άπειρο
    4.   Θετικό
    5.   Τίποτε από τα παραπάνω
13. Αν σχηματίσω, ένα απέραντο άθροισμα θετικών αριθμών , όπου ο επόμενος στην σειρά, είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, τότε το άθροισμα αυτό:
    1.   Είναι πεπερασμένο
    2.   Είναι άπειρο
    3.   Είναι θετικός αριθμός
    4.   Τίποτε απ΄  όλα τα προηγούμενα
    5.   Μπορεί να είναι άπειρο, μπορεί και πεπερασμένο.
14. Η μεγαλύτερη τιμή για μία γωνία ενός τριγώνου είναι:
    1.   180 μοίρες.
    2.   178 μοίρες.
    3.   179,999 μοίρες.
    4.   179 μοίρες.
    5.   Δεν υπάρχει.
    6.   120 μοίρες.
15. Αν θεωρήσω ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει τους αριθμούς [0,1] και το τμήσω με μια ευθεία τυχαία. Τότε η πιθανότητα να το τμήσω σε ρητό αριθμό είναι :
    1.   1
    2.   1/2
    3.   Δεν γνωρίζουμε, αλλά είναι θετική αυτή η πιθανότητα.
    4.   Δεν έχει νόημα μια τέτοια πιθανότητα, δεν ορίζεται.
    5.   0
16. το άπειρο άθροισμα: 1/2.000.000 +1/2.000.001+1/2.000.002+1/2.000.003+....+.... ισούται με :
    1.   1/2
    2.   1+(1/2.000.0000)
    3.   +άπειρο
    4.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
17. Το σύνολο του Cantor , είναι μια ευφυής , όσο και απλή μαθηματική κατασκευή: παίρνουμε το διάστημα [0,1] . Το χωρίζουμε σε τρία ίσα κομμάτια , πετάμε το μεσαίο και κρατάμε τα δύο ακραία. Μετά, σε κάθε ένα από τα δύο αυτά , κάνω το ίδιο (το χωρίζω σε τρία ίσα , πετάω το μεσαίο, κρατάω τα ακραία) Με αυτό τον τρόπο, συνεχίζοντας επ΄ άπειρον, παράγεται ένα σύνολο που λέγεται «σύνολο του Καντόρ» Γι αυτό το σύνολο ισχύει:
    (1)Είναι αριθμήσιμο . (2) Είναι υπεραριθμήσιμο . (3) Έχει μήκος 1/3 (4)έχει μήκος 2/3 (5) έχει μήκος 0 . Σωστά είναι τα :
    1.   (2)&(4)
    2.   (1) & (5)
    3.   (2)&(5)
    4.   (1) & (3)
    5.   (1)& (4)
    6.   (2)&(3)
18. Σχηματίζω το απέραντο άθροισμα: Α= +1-1+1-1+1-1+1-1+...... Τότε το Α , είναι ίσο με :
    1.   Δεν ξέρουμε μέχρι σήμερα αν είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο αριθμός Α
    2.   0 , διότι διαδοχικά και ανά ζεύγη έχω μηδενικό άθροισμα.
       Α=(+1-1)+(+1-1)+....=0+0+0+.....=0
    3.   Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό Α
    4.   Δεν ισχύει καμία από τις προηγούμενες απαντήσεις
    5.   Ο Συνδυασμός των δύο προηγουμένων περιπτώσεων δίνει ως μέση τιμή Α=1/2 που είναι η αληθής τιμή για το Α
    6.   Δεν υπάρχει αριθμός Α
    7.   1 διότι , το Α, μπορώ να το γράψω ως εξής:
       Α=+1 -(+1-1)+(+1-1)-.....=1+0+0+....=1
19. Έχω ένα σακούλι με όλες τις δυνατές κυρτές γωνίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (από 0 έως και 180 μοίρες). Εξάγω μία . Η πιθανότητα να εκλέξω οξεία, είναι:
    1.   1/3
    2.   1/2
    3.   τείνει στο 1/2
20. Έχω το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν και εξάγω στην τύχη έναν αριθμό. Η πιθανότητα εξαγωγής πρώτου αριθμού, είναι:
    1.   Δεν έχει νόημα.
    2.   0 , διότι σύμφωνα με γνωστή πρόταση της θεωρίας αριθμών, υπάρχουν οσοδήποτε μεγάλα διαστήματα που δεν περιέχουν πρώτους!
    3.   Δεν έχει υπολογιστεί ακόμα.
    4.   Δεν γνωρίζουμε.
21. Το συν άπειρο:
    1.   Είναι αριθμός
    2.   Δεν είναι αριθμός
    3.   Είναι θετικός αριθμός
    4.   Είναι μεγαλύτερο από κάθε αριθμό, αλλά δεν είναι αριθμός!
22. Τα δεκαδικά ψηφία του π , είναι άπειρα, αλλά έχουμε βρει μέχρι στιγμής (αλλά και θα βρούμε στο μέλλον) έναν πεπερασμένο αριθμό από αυτά. Τα πεπερασμένα ψηφία του π, δεν μπορεί να τα διαβάσει ένας άνθρωπος.
    1.   Σωστό
    2.   Λάθος
    3.   Μπορεί να τα διαβάσει, αλλά θα χρειαστεί -πιθανόν- όλη η ζωή του, έτσι είναι πρακτικά εξαιρετικά δύσκολο.
23. Ανάμεσα στο 10,1 και στο 10,2 υπάρχουν:
    1.   Κανένας αριθμός
    2.   Υπάρχουν άπειροι δεκαδικοί.
    3.   Κανένας δεκαδικός, αλλά πεπερασμένοι ρητοί αι άρρητοι.
    4.   Κανένας δεκαδικός, αλλά άπειροι ρητοί και άρρητοι
24. Υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου;
    1.   Το άπειρο, είναι....άπειρο! Ατέλειωτο, δεν έχει πέρας, δεν έχουμε πείρα του, είναι απέραντο, είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε αριθμό φανταστεί κάποιος, άρα δεν έχει νόημα «είδος απείρου»
       Για παράδειγμα, οι ζυγοί φυσικοί, διαισθητικά , είναι οι μισοί από τους φυσικούς, αλλά μπορούν να τεθούν σε 1-1 αντιστοιχία με αυτούς όπου ν--->2ν
       Με την παραπάνω αντιστοιχία κάθε φυσικός πάει στον διπλάσιό του (ζυγό) ενώ κάθε ζυγός έχει έναν αντίστοιχο φυσικό από τον οποίο προέρχεται!
       Άρα , όλα τα άπειρα είναι ίδια.
    2.   Βεβαίως και υπάρχουν άπειρα στο πλήθος είδη απείρου.
    3.   Βεβαίως και υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου, αλλά πεπερασμένα στο πλήθος!
25. Από τους Ρητούς Q ,  εκλέγω στην τύχη έναν. Η πιθανότητα να είναι δεκαδικό κλάσμα είναι:
    1.   Δεν έχει νόημα.
    2.   1/10
    3.   0
    4.   Θετική.
    5.   Δεν υπολογίζεται.
26. Έχουμε ένα κλάσμα με σταθερό θετικό αριθμητή και παρονομαστή μια μεταβλητή , που πλησιάζει το 0 . Τότε το κλάσμα πλησιάζει :
    1.   Πλησιάζει το +(άπειρο)
    2.   Πλησιάζει το -(άπειρο)
    3.   Εξαρτάται από το «τελικά» πρόσημο της μεταβλητής.
    4.   Πλησιάζει σε κάποιον αριθμό μεγάλο τον οποίο δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.
27. Τα άπειρα ψηφία των αρρήτων, ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή . Δηλαδή, τελικώς, όλα τα ψηφία , τείνουν να εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα.
    1.   Λάθος
    2.   Σωστό
    3.   Δεν μπορούμε να αποφανθούμε επ' αυτού.
    4.   Ισχύει μόνο για τον αριθμό π
28. Ανάμεσα στον δεκαδικό 2,59 και στον 2,60 υπάρχουν:
    1.   Άπειροι δεκαδικοί
    2.   Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.
    3.   Ένας ακόμη δεκαδικός
    4.   10 ακόμη δεκαδικοί
    5.   Κανένας δεκαδικός
29. Μια ευθεία χιλίων δεκάκις εκατομμυρίων χιλιομέτρων και μια ευθεία ενός δεκάκις εκατομμυριοστού του δεκάκις εκατομμυριοστού του εκατοντάκις εκατομμυριοστού του χιλιοστού περιέχουν τον ίδιο αριθμό σημείων.
    1.   Έτσι λένε οι μαθηματικοί, αλλά στην πραγματικότητα, δεν είναι σωστό!
    2.   Σωστό.
    3.   Λάθος.
30. Έχω ένα σακούλι με όλες τις δυνατές κυρτές γωνίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (από 0 έως και 180 μοίρες). Εξάγω 1.000.000.000 γωνίες . Η πιθανότητα να εκλέξω ορθή, είναι:
    1.   1
    2.   0
    3.   Δεν υπολογίζεται ακριβώς.
    4.   Πολύ κοντά στο 0
    5.   Πολύ κοντά στο 1
31. Α=1-2+4-8-16+32-64+....... <=> Α=1-2(1-2+4-8+16-36+.....) <=> Α=1-2Α <=> 3Α=1 <=> Α=1/3 το τελευταίο αποτέλεσμα:
    1.   Είναι σωστό.
    2.   Είναι λανθασμένο.
32. Ο μεγαλύτερος αριθμός του ανοικτού διαστήματος [2, 3) είναι :
    1.   Υπάρχει, αλλά είναι άρρητος
    2.   Το 3
    3.   Υπάρχει, αλλά δεν μπορούμε να τον βρούμε
    4.   2,9999999999999.........
    5.   Δεν υπάρχει.
    6.   Δεν τον έχουμε ανακαλύψει ακόμη, αλλά δεν αποκλείεται να τον ανακαλύψουν στο μέλλον οι μαθηματικοί
33. Έχω μια σακούλα που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς και βγάζω έναν αριθμό στην τύχη . Η πιθανότητα να είναι άρτιος, είναι:
    1.   Δεν έχει υπολογιστεί ακόμα.
    2.   Δεν γνωρίζουμε.
    3.   1/2
    4.   Δεν έχει νόημα.
34. Έχω τα άπειρα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π. Η πιθανότητα εκλογής από αυτά του αριθμού 5 , είναι:
    1.   Δεν γνωρίζουμε κι ούτε ποτέ θα μάθουμε!
    2.   Δεν έχει νόημα μια τέτοια πιθανότητα.
    3.   Δεν γνωρίζουμε, αλλά δεν αποκλείεται να μάθουμε!
    4.   1/10
35. Ένα άλλο παράδοξο του Ζήνωνος: Ο Αχιλλεύς ο ωκύπους (γοργοπόδαρος) καταδιώκει μία χελώνα. Όταν ο Αχιλλεύς φθάσει στην θέση που είναι ΤΩΡΑ η χελώνα, αυτή θα έχει μετακινηθεί κάποιο διάστημα Δ1 . όταν φθάσει ο Αχιλλεύς στο πέρας του διαστήματος Δ1, αυτή θα έχει μετακινηθεί ένα διάστημα Δ2 , όταν φθάσει ο Αχιλλεύς στο πέρας του Δ2, αυτή θα έχει μετακινηθεί κατά Δ3 κ.ο.κ. Αρα, σύμφωνα με τον Ζήνωνα, ο Αχιλλεύς , ουδέποτε θα φθάσει την χελώνα! σύμφωνα με αυτό ο Ζήνων:
    1.   Υπεδείκνυε μια αδυναμία των μαθηματικών της εποχής του, αλλά και των σημερινών μαθηματικών!
    2.   Έθετε ένα άλυτο στην διανόηση πρόβλημα, αφού ναι μεν όλοι ξέρουμε ότι ο Αχιλλεύς φθάνει και υπερκερνάει την χελώνα, αλλά αυτό η λογική του υποδεικνύει, δεν μπορεί να το λύσει!
    3.   Το άθροισμα των άπειρων χρονικών διαστημάτων διάνυσης των άπειρων διαστημάτων, είναι πεπερασμένο!
    4.   Ανεδείκνυε άλλη μια αντιφατική ιδιότητα του απείρου
    5.   Το άθροισμα των άπειρων χρονικών διαστημάτων διάνυσης των άπειρων διαστημάτων είναι άπειρο.
36. Δεχόμαστε την ύπαρξη του ρίζα 2 αξιωματικά
    1.   Ο ρίζα2 , μπορεί να κατασκευαστεί ως υποτείνουσα ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και άρα, αφού είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη, μπορούμε να δεχθούμε την ύπαρξή του χωρίς αξίωμα.
    2.   Λάθος, διότι 1,4142^2=2
    3.   Σωστό
    4.   Λάθος, αποδεικνύεται: (ρίζα2) ^2=2, ό.έ.δ.
37. Αν πάρω άπειρα στο πλήθος ευθύγραμμα τμήματα και τα βάλλω το ένα πίσω από το άλλο, τότε το αποτέλεσμα που θα προκύψει , θα είναι :
    1.   ευθεία ή ημιευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα.
    2.   Ευθεία ή ημιευθεία
    3.   Τίποτε από τα παραπάνω.
    4.   Μια ημιευθεία
    5.   Ένα ευθύγραμμο τμήμα
    6.   Μια ευθεία
    7.   Ημιευθεία ή ευθ. τμήμα
38. Το άπειρο άθροισμα: 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+....+........ ισούται:
    1.   Κανείς δεν μπορεί να εκτελέσει άπειρες προσθέσεις, άρα το άπειρο άθροισμα, δεν έχει νόημα!
    2.  Με θετικό αριθμό, τον οποίο δεν μπορούμε να βρούμε
    3.   Με +άπειρο
    4.   Με 2
    5.   Με 1
39. το άθροισμα 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+....+...... ισούται με :
    1.   Δεν υπολογίζεται.
    2.   1
    3.   10
    4.   +άπειρο
40. Δύο αριθμοί α, β , «απέχουν οσοδήποτε μικρή απόσταση» (|α-β|<ε , για κάθε ε θετικό) Τότε θα ισχύει:
    1.   β-ε<α<β+ε
    2.   α=β
    3.   α διαφορετικό από το β
    4.   Βρίσκονται σε οσοδήποτε κοντινή απόσταση, αλλά δεν είναι υποχρεωτικό να ταυτίζονται!
41. Το άθροισμα: 2.000.000+1.000.000+500.000+250.000+125.000+62.500+31.250+15.625+......+..... ισούται με :
    1.   4.000.000
    2.   Δεν έχει ακόμη υπολογιστεί.
    3.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
    4.   +άπειρο
    5.   5.000.000
42. Υπάρχει τρίγωνο με εμβαδόν 0,000.001 τετραγωνικό μέτρο και περίμετρο 1.000.000.000.000.000 μέτρα;
    1.   Υπάρχει , αλλά δεν κατασκευάζεται.
    2.   Δεν υπάρχει.
    3.   Και υπάρχει και κατασκευάζεται.
43. Ένα σχήμα με άπειρη περίμετρο, θα έχει και άπειρο εμβαδόν.
    1.   Σωστό
    2.   Λάθος
    3.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
44. Ανάμεσα στις τάξεις απείρων του αριθμησίμου και του υπεραριθμησίμου , υπάρχει/ουν:
    1.   Πεπερασμένες τάξεις απείρου.
    2.   Κανείς δεν γνωρίζει.
    3.   Μία τάξη απείρου ακόμη.
    4.   Καμία τάξη απείρου.
    5.   Άπειρες τάξεις απείρου.
45. Ανάμεσα στο 5,1 και στο 5,2 υπάρχουν:
    1.   Πεπερασμένοι ρητοί και άπειροι άρρητοι.
    2.   Υπάρχουν πεπερασμένοι ρητοί και πεπερασμένοι άρρητοι.
    3.   Άπειροι ρητοί και άπειροι άρρητοι.
    4.   Δεν υπάρχουν ρητοί, αλλά υπάρχουν άπειροι άρρητοι.
    5.   Δεν υπάρχει κανένας αριθμός.
46. Μπορώ να θεωρήσω το σύνολο όλων των συνόλων.
    1.   Λάθος
    2.   Σωστό.
47. Αν προσθέσω άπειρους στο πλήθος θετικούς αριθμούς, τότε το αποτέλεσμα που θα πάρω , θα είναι:
    1.   Θετικό
    2.   Σταθερό
    3.   Άπειρο
    4.   Πεπερασμένο
    5.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
48. Από τους ρητούς εκλέγω ένα ανάγωγο κλάσμα. Η πιθανότητα να είναι οι όροι του περιττοί είναι:
    1.   Δεν έχει νόημα.
    2.   Δεν έχει ακόμα υπολογιστεί.
    3.   1/4
    4.   1/2
    5.   Δεν μπορεί να υπολογιστεί.
    6.   1
    7.   1/3
49. Οι κόκκοι της άμμου, είναι:
    1.   Είναι άπειροι μεν , αλλά αριθμήσιμοι!
    2.   Πεπερασμένοι.
    3.   Πεπερασμένοι , αλλά δεν υπάρχει άνθρωπος επί Γης που να μπορέσει να βρει την τάξη μεγέθους τους!
    4.   Άπειροι
50. Έχω ένα σακούλι και μέσα του βάζω αντίτυπα του συνόλου των ρητών Q . Πόσα βάζω; Βάζω άπειρα αριθμήσιμα αντίτυπα του συνόλου Q .  Κοπιάρω δηλ. άπειρες φορές τα στοιχεία του Q , σε διαφορετικά χρώματα , τόσες φορές, όσα και τα στοιχεία του Q !  Έπειτα , μέσα στο σακούλι, βάζω και όσους άρρητους αριθμούς περιέχονται στο απειροελάχιστου μήκους διάστημα [0, 10^-1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000] (δέκα εις την πλην ένα δεκάκις εκατομμύριο!) Τα ανακατεύω και τραβάω ένα δεκάκις εκατομμύριο λαχνούς. Ποία η πιθανότητα να πετύχω ένα τουλάχιστον ρητό αριθμό;
    1.   1
    2.   Πολύ κοντά στο 1
    3.   Θετική κοντά στο 0
    4.   Δεν μπορούμε να ξέρουμε.
    5.   0
51. Όταν λέμε για μια μεταβλητή ποσότητα χ, ότι «το χ τείνει στο 5» εννοούμε, ότι:
    1.   Το χ, πλησιάζει το 5, μπορεί και να το φθάνει
    2.   Το χ, πλησιάζει οσοδήποτε κοντά το 5, αλλά δεν το φθάνει ποτέ.
    3.   Το χ πλησιάζει το 5, χωρίς να το φθάνει
    4.   Το χ, πλησιάζει το 5, μπορεί και να το φθάνει , μπορεί και να το ξεπερνάει
52. Ανάμεσα στο κλάσμα 48/51 και το κλάσμα 50/51 υπάρχουν :
    1.   Δύο κλάσματα
    2.   Κανένα κλάσμα
    3.   10 κλάσματα διαφορετικά
    4.   Ένα ακόμη κλάσμα
    5.   Άπειρα κλάσματα.
    6.   51 κλάσματα